1haodian,设a1=1,an+1+根号(1-an）=0,证明数列an收敛，求出an的

Answer 1

参考下例

Answer 2

收敛？

Answer 3

a(n)-a(n-1) = (-1/2)[a(n-1)-a(n-2)]

lim [a(n)-a(n-1)] = 0, a(n)

a(n)-a(n-1) = (-1/2)^(n-2)·[a2-a1] = (-1/2)^(n-2)

a(n) = a(1)+ (-1/2)^0 + (-1/2)^1 +...+ (-1/2)^(n-2)

lim a(n) = lim a(1) + lim [(-1/2)^0 + (-1/2)^1 +...+ (-1/2)^(n-2)]

= 0 + 1/[1-(-1/2)] = 2/3

Answer 4

根据a1＞0以及公式可知an＞0恒成立。

a(n+1)=1/2(an+1/an)≥1/2*2√(an*1/an)=1。

a(n+1)-an=1/2(1/an-an)=(1+an)(1-an)/(2*an)＜0以数列{an}单调递减。

所以1≤an＜a1，{an}有界。

所以数列{an}有，设lim(n→∞)

an=a。

递推公式两边求极限，a=1/2(a+1/a)得a=1或-1。

根据极限保号性，a≥1，所以a=1。

所以lim(n→∞)

an=1。

Answer 5

结果为：lim an=2

解题过程：

利用数学归：a1=2<2

假设当n=kak<2

则n=k+1时，a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2

因此，an<2

再证an单调

a(n+1)-an

=√(2*an)-an

=√an * (√2-√an)

∵an<2

∴a(n+1)-an>0即，an单调递增

由单调有界定理，an收敛，设收敛到a，即有lim an=a

a(n+1)=√(2*an)

同取极限，lim a(n+1)=lim √(2*an)

a=√(2*a)

a=2

∴lim an=2

扩展资料

求数列极限的方法：

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1.函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2.函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3.函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

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Answer 6

唉，这种题解了很多了，每隔一段时间就有人问，以后遇到这种题，常规方法，先数学归纳证明单调有界，然后设极限，最后解方程，此类题不难，多分析

 追问

如果真的这么简单我就不会问了。。。这个数列不是单调的。。。你取几个试试

追答

请举例说明他不单调，再说我这都证明他单调了，你还……

追问

图片发不过去。。。打字太麻烦了，你自己算一下前5、6项就会发现它是一个摆动数列，在根号2附近摆动

单调有界法则没法用，柯西法则目测也不行，只能求出它的通项用定义做了，但是通项我也不会求。。。

Answer 7

2  追问

要想证明数列收敛，但是我不会证单调性，怎么证明它的极限为2呢？

追答

• 

  重点为单调有界原理，可参考数学分析1

  追问

  可以写清晰点吗？

  看不清

  追答

  

  • 

    数列构造函数，到底>0，为增，导数<0不能判断单调性

    

    • 

Answer 8

an大于零小于根号下2an减去an的平方！ 追问

能否说详细点？