约数的概念是什么 约数的定义? ? ?

约数的定义? ? ?

定义

　　整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。在大学之前，所指的一般都是正约数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数。一个数的约数是有限的。

范例

　　在自然数的范围内，

　　4的约数有：1、2、4。

　　6的约数有：1、2、3、6。

　　10的约数有：1、2、5、10。

　　12的约数有：1、2、3、4、6、12。

　　15的约数有：1、3、5、15。

　　18的约数有：1、2、3、6、9、18。

　　20的约数有：1、2、4、5、10、20。

　　注意：一个数的约数包括1及其本身。

　　例如:能被24整除的有：1、2、3、4、6、8、12、24。

　　所以

　　24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24。

　　…………………………………………………

公因数

　　如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。可以表示为(a，b)=c。

最大公因数

　　两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

最大公因数的求法

　　1、 枚举法 将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

　　例：求30与24的最大公因数。

　　30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30

　　24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24

　　易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。

　　2、 短除法 短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所 求12和18的最大公约数有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。 短除法（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可）

　　例：求12和18的最大公约数。

　　解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6.。

　　3、分解质因数将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。

　　例：求48和36的最大公因数。

　　把48和36分别分解质因数：

　　48=2×2×2×2×3

　　36=2×2×3×3

　　其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。

　　4、辗转相除法（欧几里得算法）对要求最大公因数的两个数a、b，设b<a，先用b除a，得a=bq……r1(0≤r1<b)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q……r2 (0≤r2<r1).，若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1……如此循环，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。

　　这一算法的证明如下：

　　设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

　　令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc，根据前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

　　由上，可知c也是r的因数，故可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】

　　所以 gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

　　例：求8251和6105的最大公因数。

　　考虑用较大数减较小数，求得商和余数：

　　8251=6105×1+2146

　　6105=2146×2+1813

　　2146=1813×1+333

　　1813=333×5+148

　　333=148×2+37

　　148=37×4

　　最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。

更相减损术 更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

　　翻译成现代语言就是

　　第一步：任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

　　第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。 这个数就是a、b的最大公约数。

　　例：求98与63的最大公因数。

　　分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

　　98-63=35

　　63-35=28

　　35-28=7

　　28-7=21

　　21-7=14

　　14-7=7

　　所以，98和63的最大公约数为7。

　　注：以上1、2、3同样适用于求多个自然数的最大公约数。一般地，对自然数n进行分解质因数，设n可以分解为

　　n=p(1)^α(1)·p(2)^α*(2)·…·p(k)^α(k)

　　其中p(1)、p(2)、…p(k)是不同的质数，α(1)、α(2)、…α(k)是正整数，则形如

　　n=p(1)^β(1)·p(2)^β*(2)·…·p(k)^β(k)

　　的数都是n的约数，其中β(1)可取a(1)+1个值：0,1,2，…，α(1)；β(2)可取α(2)+1个值：0,1,2,…，α（2）…；β(k)可取a(k)+1个值：0,1,2，…，α(k).且n的约数也都是上述形式，根据乘法原理，n的约数共有

　　（α(1)+1）（α(2)+1）…（α(k)+1） （7）

　　个。

　　式（7）即为求一个数约数个数的公式。

什么是约数？

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。

在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。

相关概念：

如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。

两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

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什么是约数

约数

定义

如果一个整数能被另一个整数整除，那么第二个整数就是第一个整数的约数。约数是有限的，一般用最大公约数。

（在自然数的范围内）

6的约数有：1、2、3、6

10的约数有：1、2、5、10

15的约数有：1、3、5、15

………………

注意：一个数的约数包括 1 及其本身。

整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除,或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数或因数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数.

约数：如果一个整数能被两个整数整除，那么这两个数就是这个数的约数。约数是有限的，一般用最大公约数。直白地说:约数就是能将其整除的除数.

例如:能整除24的有1、2、3、4、6、8、12、24

所以24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24

约数是可以整除这个数的数,一般都小于或等于它(包括它自身).

最大公约数:如果一个数既是数A的约数，又是数B的约数，称为A,B的公约数，A,B的公约数

中最大的一个（可以包括AB自身）称为AB的最大公约数。

同理，AB共同的倍数中最小的一个称为AB的最小公倍数。

明白了么?

若整数a能被整数b（b不为0）整除，则称a为b的倍数，b为a的约数

[解题过程]

例如 6÷3＝2，那么3就是6的约数

[编辑本段]举例

6的约数有：1、2、3、6

10的约数有：1、2、5、10

15的约数有：1、3、5、15

………………

注意：一个数的约数包括 1 及其本身。

整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除,或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数或因数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数.

约数：如果一个整数能被两个整数整除，那么这两个数就是这个数的约数。约数是有限的，一般用最大公约数。直白地说:约数就是能将其整除的除数.

例如:能整除24的有1、2、3、4、6、8、12、24

所以24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24

约数是可以整除这个数的数,一般都小于或等于它(包括它自身).

最大公约数:如果一个数既是数A的约数，又是数B的约数，称为A,B的公约数，A,B的公约数

中最大的一个（可以包括AB自身）称为AB的最大公约数。

同理，AB共同的倍数中最小的一个称为AB的最小公倍数。

明白了么?

若整数a能被整数b（b不为0）整除，则称a为b的倍数，b为a的约数

[解题过程]

例如 6÷3＝2，那么3就是6的约数

http://baike.baidu.com/view/461750.html?tp=0_11

约数的定义是什么?一个正整数的约数是否包括负数?负数有没有约数?

约数的讨论仅在正整数范围的呀.

1是最小的约数

一个数最大的约数是它本身

这个说定义没什么意思的..反正理解它的意思就行了.

比如6的约数是1,2,3,6

10的约数是1,2,5,10