球面是否存在连续的基数4划分？

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  A
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  =n\}$，基数为$n$的子集集。如果$X$是一个拓扑空间，$X^{{n\}$可以被认为是$X^n$减去扩展对角线的商而得到一个拓扑。
  定义空间$X$的一个连续的$n$分区，将$X$划分成一组基数$n$，这样关联的函数$X\到X^{n\}$，向包含它的分区的元素发送$x$是连续的。我不知道这些是否有标准的符号或术语。）
  是否存在一个连续的$4$分区？
  我的假设是否定的，因为最明显的$4$-分区失败了。如果我们能找到射影平面${\rm\Bbb RP}^2$的一个$2$分划（也称为不动点对合），我们将是黄金分割，因为${\rm\Bbb RP}^2$的每个元素对应于球体$S^2$的一对对反极对，但根据Lefschetz不动点定理，这是不可能的。
  可能有一些简单的代数拓扑解决方案，但不幸的是，我在代数拓扑方面不熟练。
  对于进一步的猜想，我相信$s^2$的大小为$2$mod$4$，在以下意义上：如果从$s^2$中删除$k$点，那么结果是连续的$4$-分区iff$k\equiv2\pmod{4}$.
  
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  设$X$为流形，假设$f:X\to X^{n\}$为连续的$n$-分区。设$p:X\to Y$为与$X$分区相关联的商映射。我声称事实上$p$是一张覆盖图。（相反地，很容易看出来自一个$n$张覆盖图的任何分区都是连续的。）
  为了证明这一点，让$y\在y$中，所以$y=\{x\u 1，\dots，x\u n\}$是$x$的一个$n$元素子集。设$U\U 1、\dots，U\U n$为$x\U 1、\dots，x\U n$的成对不相交邻域。然后是$X^{\{n\}}$的一个子集$U$，由集合组成，集合中每个$U\\U i$只包含一个元素，$U$的拓扑结构就是用$\prod U\\U i$标识它的乘积拓扑结构。通过$f$的连续性，存在$x\U 1$的邻域$V\U 1\子teq U 1$，使得$f（V\U 1）\subteq U$。将$f$为映射$V\U 1\到U\cong\prod U i$，我们可以将其视为每个$i$的连续映射$f\U i:V\U 1\到U i$的集合。因为$f$是一个分区，所以每个$f\ i$都是的。根据域的不变性（这是我们使用的假设$X$是流形的一个地方），这意味着$f\u i（V\u 1）$对于每个$i$是的，$f\u i$是$V\u 1\到f\u i（V\u 1）$的同胚。让我们写$V\\u i=f\\u i（V\\u 1）$。
  所以，我们有的邻域$V\\u 1、$x\\u 1、$dots、V\\u n$，以及同胚$f\\u i:V\\u 1\到V\\u i$，这样我们的分区就把$\bigcup V\\u i$分成了$\{f\\u 1（x）、f\\u 2（x）、\dots、f\\u n（x）\}$的集合。因此，集合$W=p（V_1）=p（V_2）=\dots=p（V_n）$是$Y$中$p$的邻域，它被$p$均匀覆盖，$p^{-1}（W）=\bigcup V_i$和$p$将每个$V_i$映射到$W$同胚。
  特别是在$S^2$的情况下，连续的$n$分区将给出一个具有$S^2$的曲面作为$n$覆盖空间。根据曲面的分类，这仅适用于$n=1,2$。
  此外，如果对$k$次穿透球体$X$有一个连续的$n$分区，这将给出一个$n$片状覆盖图$p:X\到Y$。空间$Y$必须是一个具有有限生成基本群的连通曲面，因此是一个有限类型的曲面（可以显示它有有限多个端点，并且它的端点紧化是一个闭曲面）。因此$\chi（X）=n\chi（Y）$。因为$\chi（X）=2-k$，这意味着$k$必须是$2$mod$n$。
  
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