有界开区间上的一致连续函数有界

解答动态

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  f（x）
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  \le M\\forall x\ in（a，b）$）。老实说，我不知道如何解决这个问题。我试图通过一致连续函数的定义直接传递并提取一些东西，通过区分格（$f$单调与否），但我仍然不能得出结论。凭直觉我明白为什么这是真的，但找不到一个好办法来解决这个问题。如果有人能给个提示，我会很感激的。提前感谢2
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  假设它没有边界。然后有一个序列$（x
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  n）{n=1}^\infty\subsetq（a，b）$，使得$
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  f（x
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  n）
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  >；n$表示\mathbb{n}$中的所有$n。因为这个序列是有界的，所以它必须有一些Cauchy子序列$（x{n\u k}）$。现在使用一致连续性来说明$f（x{n{k}）$也是Cauchy（这很容易从定义中得出），这将是一个矛盾的问题。
  
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  如果$f$没有界，那么会有一个序列$\{c{n\}$收敛到$c$，这样$\{\vert f（c{n）\vert\}$是的。用$\{a\u n\}$的子序列导出一致连续性的矛盾。
  
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  如果$f$是一致连续的，那么$\lim{x\ to a+}f（x）=a$和$\lim{x\ to b-}f（x）=b$存在。此外，如果定义了$f（a）=a$和$f（b）=b$，那么就得到了$[a，b]上的连续函数。
  美元
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