操纵希尔伯特空间和量子力学中的谱理论

解答动态

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  \psi\rangle$写成：\begin{eqnarray}
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  \psi\rangle=\int dx\，\psi（x）
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  x\rangle\tag{1}\label{1}\end{eqnarray}这与Hilbert空间理论中通常发现的类似，每一个$x\in\mathscr{H}}和{{e{{{n}}}}{n\n\in\mathbb{n}}}}}每一个$x\in\x\in\mathscr{H}和{{e{n}}和{n}}}{{n\n\n\n}{n\n}{{n\n\n}{{{{2}标签}}标签}标签}2}标签R}^{d}）$，因此position操作符$\hat{x}$作为稠密子空间上的乘法算子。然而，它是一个具有连续谱的自伴随算子，因此它在$L^{2}（\mathbb{R}^{d}）$中根本没有特征向量，因此，$
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  x\rangle$在这种情况下没有数学意义。在任何情况下，（\ref{1}）的使用都要求系数$\psi（x）$是$L^{2}（\mathbb{R}^{d}）$本身的元素，就像系数$\alpha{n}=\langle e{n}，x\rangle$是（\ref{2}）中$\ell^{2}（\mathbb{n}）$的元素一样，因此我们在大多数情况下使用组件$\psi（x）$进行实际计算（至少是显式的）求解薛定谔方程之类的计算）这就是我感兴趣的地方。上述场景出现在量子力学每次讨论的最开始，至少对我来说，这几个字足以证明“一些更大的空间”的需要，这似乎是一个被操纵的希尔伯特空间。然而，在互联网上快速搜索，你发现只有一些事情操纵希尔伯特空间，在一般讨论其与量子力学的联系。我也查过我关于严格量子力学的书，似乎没有一本能解决这个问题。然而，他们都讨论了光谱理论，我听说这是另一种处理这一切的方法。问题：为什么被操纵的希尔伯特空间似乎仍然是一个主题，没有完全纳入严格的量子力学的通常论述，而光谱理论是根深蒂固的？谱理论形式主义是否更适合于处理上述问题，而不是以任何理由操纵希尔伯特空间？为什么会这样？
  
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  为什么被操纵的希尔伯特空间是一个主题，而在严格的教科书中通常不被处理：这是一个很好的问题。如果你像我一样学习QM，你首先要理解物理学家的狄拉克三角洲是虚构的（也就是说，不存在于L^2（\mathbb{R}^d）$），然后你通过光谱理论学习冯·诺依曼的方法，这使得一切都很严格，后来你听说了操纵Hilbert空间，使Dirac delta函数变得严格。在这一点上，你的反应可能是，这似乎只是为了赋予物理学家所说的东西字面意义而做的额外工作，为什么要费心这么做呢？
  我们要寻找的答案是QM中一些明显重要的基本主题，这些主题可以更容易地用操纵的Hilbert空间来处理。我不知道这样的事，但那可能是因为我对物理学了解不够。希望更有知识的人能举一个好例子。
  马德里的《操纵希尔伯特空间语言的量子力学》看起来是一个很好的资源。关于mathoverflow和物理堆栈交换的类似问题在这里和这里
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  @尼克Weaver：我们要寻找的答案是QM中一些非常重要的基本主题，这些主题可以更容易地用操纵的Hilbert空间来处理。
  最重要的主题是共振理论。
  A共振是一个复特征值$E-i\Gamma$，用$\Gamma>；0$，表示哈密顿量的非自伴解析延拓。共振描述了一个衰变的系统，例如一个重原子核，它的准束缚态能量为$E$，寿命为$\hbar/\Gamma$。相应的广义本征函数（散射态）存在于操纵的希尔伯特空间中，参见操纵的希尔伯特空间中的共振描述（2006）。
  
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  你问“为什么光谱理论而不是操纵的希尔伯特空间？”。
  有一些实际/教学上的原因：一是你无论如何都需要量子力学中的基本光谱理论，所以你最好从中获得尽可能多的里程数。另一个观点是，谱理论在很大程度上可以用有限维线性代数来解释。操纵希尔伯特空间需要核向量空间，这虽然很好，但不是特别直观。（人们可以抄近路，通过嵌套的希尔伯特空间来定义它们，但这显然比只有一个希尔伯特空间要复杂得多。）
  还有社会学的原因：在严格的量子物理学上，许多工作都遵循冯·诺依曼，他使用了光谱理论。他这样做并没有错；当时最重要的是要纠正原子令人震惊的光谱行为。三十年后，盖尔芬德和他的合作者操纵了希尔伯特空间。在这一点上，严格的量子物理学的大部分工作都是由那些已经用C*代数建立了一切的人来完成的。
  人们也可能会责怪里德和西蒙，他那本有影响力的、或者说是神话般的分析书只是粗鲁地推荐；最后，我认为谱理论和被操纵的希尔伯特空间并不是完全不同的东西。操纵Hilbert空间理论正是建立算子谱理论的好方法。我更喜欢在量子物理中操纵Hilbert空间，因为这样可以让你显式地使用你真正想要处理的算符，而不是发明绕圈来只讨论有界算符。但必须承认的是，C*-代数语言已经取得了很大的进步，这些东西之间的区别是实验所看不见的。
  
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  莱斯利E.巴伦丁的书《量子力学-现代发展》解释了为什么我们需要操纵希尔伯特空间，接着用第一章的篇幅来构建必要的数学机器
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