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函数空间为切空间的Banach流形的例子

2021-02-14 22:16

I最近通过Serge Lang的微分流形书学习了Banach流形的理论。到目前为止，这些对象似乎相当有趣，但我的直觉总是来自有限维的情况，这是非常有帮助的，但我当然想

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这并不完全符合你的标准，因为它不是一个Banach机器，但无限维空间的一个很好的例子是有限二阶矩概率测度空间以及由Otto计算导出的形式黎曼度量这里有许多方法来考虑切线空间。自然坐标系是考虑所有有符号测度的有限二阶矩和零总质量。然而，奥托的一个重要见解是，如果你通过求解一个特殊的椭圆微分方程（其系数取决于基点），来“改变坐标”，那么就有一个自然的内积，你可以定义它。你必须小心地用泛函分析，使它变得严格，我相信这个空间实际上是非常独特的（这就是为什么它只是形式上的）。然而，这是一个非常重要的构造，因为内积将2-Wasserstein度量作为其距离函数，因此在优化传输和函数分析之间提供了一个桥梁。举一个例子说明这一点，如果你用这个度量，热方程就是熵的梯度流
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