高斯分布的特殊之处是什么？

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  评论列出了高斯分布之所以特殊的许多原因，但它是否是所有分布中“最基本的”分布，如OP中所建议的？我想说的是：（1）守恒定律是自然界最基本的定律之一，（2）服从守恒定律的量自然会服从指数分布，而不是高斯分布。考虑能量：两个能量分别为$E_1$和$E_2$的系统的总能量为$E_1+E_2$，如果它们足够大，它们将是的，因此概率分布必须分解：$P（E_1+E_2）=P（E_1）P（E_2）$，指数分布$P（E）\propto E^{-\beta E}$作为唯一的规范化解（假设$E$从下面有界）。
  这是吉布斯测度。Hammersley-Clifford定理指出，任何满足Markov性质的概率测度都是适当选择（局部定义）能量函数的Gibbs测度。吉布斯测度是统计物理学的基本测度，但它在物理学之外也有着广泛的应用。货币的统计力学解释了货币的指数分布，这是货币普遍守恒的直接结果（也有例外）。相比之下，财富是不守恒的（股票可能上涨或下跌），因此非指数财富分布（帕累托分布）。
  
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  有一整本书正好解决了这类问题：假设一个分布有这样那样的性质，那么它一定是高斯分布（有时是泊松分布）。
  MR0346969 Kagan，a.M.；Linnik，于。五、 ；Rao，C.Radhakrishna《数理统计中的表征问题》，John Wiley&Sons，纽约-伦敦-悉尼，1973.
  
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