为什么Riesz&#x27；的表示定理适用于量子力学？

解答动态

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  好的，这个问题有很多困惑。
  首先，我不知道你为什么说``在讨论开始时通常将$a$'嵌入$B（H）$。量子力学的C${}^*$-代数方法的要点是以一种于表示的方式来做事情，所以我想说，以这种方式开始讨论是不寻常的。
  你是对的，C${}^*$-代数上的状态是一个单位正线性泛函。这实际上与Riesz表示定理无关。你似乎想把这个定理应用到Hilbert-Schmidt算子上，Hilbert-Schmidt算子构成一个Hilbert空间，但它们并不构成一个C*-代数，而且许多C${}^*$-代数不包含Hilbert-Schmidt算子。（因此，问题1的答案是一个强调的“不”。）
  部分混淆可能与纯态和混合态之间的区别有关。在量子力学的Hilbert空间方法中，纯态用Hilbert空间中的单位向量表示，混合态用正范数1迹类算子表示。如果你用的是C${}^*$-代数，那么混合态就是上面定义的状态，纯态就是混合态集合的极值点。您可以使用GNS表示法将C${}^*$代数放入希尔伯特空间，使$a$（在C${}^*$代数意义上）上的状态扩展到$B（H）$（在希尔伯特空间意义上）上的状态。
  最后，您链接到的问题中的问题会出现，因为有人正在将C${}^*$代数的状态定义应用到$B（H）$。这有点微妙，因为我们可以通过将C${}^*$代数嵌入到一些$B（H）$中，将C${}^*$代数状态转换为Hilbert空间状态，但是如果从$B（H）$开始，则可能必须将其嵌入到更大的$B（K）$.
  中（也许我应该补充一点，在C${}^*$代数意义上查看$B（H）$上的状态是C${}^*$代数可能需要的东西）是的，但这不是数学物理学家通常做的事情。）
  我对这个问题的回答更详细地说明了为什么人们会费心于量子力学的C${}^*$代数方法，等等。
  $\DeclareMathOperator\Ann{Ann}\DeclareMathOperator\Tr{Tr}$我的回答与Nik Weaver的有些互补，令人钦佩的是，我更专注于问题2，因为关于问题1，我对后者没有更多的补充。
  当你处理一个不一定是可交换的C*-代数$\mathfrak{a}$，Riesz表示定理不再是人们用来表示状态的工具。通常所做的是所谓的Gel'fand–Naimark–Segal（GNS）构造一个*-表示$\pi\uomega:\mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{B}（\mathsrc{H}\uomega）$of$\mathfrak{a}$在Hilbert空间$\mathsrc{H}\uomega$从$\mathfrak{a}$上的状态$\omega$开始。
  为了方便起见，让我们回顾一下GNS构造。我们现在假设$\mathfrak{A}$有一个单位$\mathbb{1}$。回想一下，$\mathfrak{a}$上的状态是一个线性映射$\omega:\mathfrak{a}\rightarrow\mathbb{C}$，这样$\omega（a^*a）\geq 0$表示\mathfrak{a}$中的所有$a\和$\omega（\mathbb{1}）=1$。这意味着$\mathfrak{A}\times\mathfrak{A}\ni（A，b）\mapsto\omega（A^*b）
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