是否存在次线性展开的非循环无环图？

解答动态

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  对于球对称树（其中与树根相同距离的所有顶点都具有相同的阶数），众所周知，瞬变等效于$\sum
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  T
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  n
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  ^{-1}<；\infty$，（其中，$T
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  n$是树的$n$级），因为这意味着从树根到无穷大的阻力是有限的。另一方面，Varopolous-Carne不等式（见[3]）意味着如果树有多项式，则速度为零成长。所以呢如果在2的幂级上的每个顶点都有4个子节点，而所有其他顶点都有一个子节点，那么树是暂时的，但是SRW的速度是零。《树上的随机游动与区间容量》，载《概率与统计年鉴》，第28卷，第4期，第557-592页。1992.
  [3]Lyons，R.，&Peres，Y.（2017）。树和网络上的概率（剑桥统计和概率数学系列）。剑桥：剑桥大学出版社。内政部：10.1017/9781316672815https://rdlyons.pages.iu.edu/prbtree/book\u online.pdf
  
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  这是另一个计数的方法例如：
  从一个无限的$3$-正则树$T$，对于每个$d\in\mathbb N$，在距离$v\u 0$的$d$处的每个顶点附加一组$d$叶子。
  简单的随机游走是暂时的，因为如果我们忽略迂回（进入和离开树叶）我们只剩下一个简单的随机漫步在$T$。另一方面，当它分开时，走的速度会变慢：如果我们在距离$d$从$v
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  0$开始，它平均要走$O（d）$步，直到我们沿着$T$的边缘走一步，所以我们预计需要$\Omega（d^2）$步才能到达距离$d$的顶点。
  
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  这里有一个反例的建议。要构造图形，从开始，向右走一步并分叉。在任一分支上，采取2个步骤并分叉，在任何分支上采取3个步骤并分叉，等等。与的距离是一个出生和死亡过程$\delta\n$，具有转移概率，在分叉的任何距离处增加2/3，在任何其他距离处增加1/2。因此，应该很容易证明它不是反复出现的，我可以证明这一点。它可以嵌入到一维布朗运动中，只看点0，1，3/2，2，2.25，.2.5，2.75，2.75+1/8等等。注意，表2.75，你有2/3的概率增加，1/3的概率减少。大小2^（-2）有n个增量，因此我写下的点永远不会比$\Sigma n*2^{-n}<；1000000$大。从1开始的布朗运动在达到0之前有达到1000000的正概率，在这些路径上$\delta\n$永远不会达到0。
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